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运筹学－北京邮电大学-9

第九章 特殊随机服务系统
秩序影响服务质量
9.1 M/G/1 等待制，无限源，无限容量
G 表示一般独立分布，没有具体的分布函数，但知道该分布的数学期望 1/%26#61549; 和方差 %26#61555;2
设到达率为 %26#61548;，平均服务时长为 h = 1/%26#61549; ，则系统业务量为 %26#61554; = %26#61548;h；同样，系统有稳态的条件是 %26#61554; %26lt; 1
9.1.1 系统中逗留顾客的平均数
由于服务时长不具有马氏性，不能套用生灭方程求稳态 pj
以第 n 个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态，如图
Ln 为第 n 个顾客离开系统瞬间的系统排队队长
Yn+1 为第 n +1 个顾客服务时间内到达的顾客数

E[Yn+1] 代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数
E[U(Ln)] 代表系统中有顾客逗留的概率，也即服务台被占用的概率；服务台被占用的概率就是 %26#61554;，所以有

Ld，Lq 不但与 %26#61554; 有关，而且与 %26#61555;2 有关
(5),(6)式以俄国数学家 朴拉切克—欣钦 命名

顾客等待的概率为 D=E[U(Ln)]=%26#61554;，不需等待的概率为 1%26#61485; %26#61554;
9.1.2 平均剩余服务时间
对于负指数服务时间分布，众所周知剩余服务时间仍服从原来的分布，即 h%26#61602; =1/%26#61549;
但在M/G/1中，平均剩余服务时间 Tr 需要研究，它与顾客排队等待的时间 Wq 有关；显然， Wq分为两部分：(1)等待服务台空出的平均时间，(2)排在队中所有顾客的服务时间

对于定长分布，%26#61541; =1，Tr = h/2
对于负指数分布，%26#61541; =2，Tr=h
对于 k 阶爱尔兰分布，%26#61541; =？，Tr=？
9.2 优先权服务系统
9.2.1 M/G/1 非强占优先系统
设有 m 级顾客，1 级顾客为最高优先权，每级内采用FIFO
各级顾客到达率为 %26#61548;i，波松流，各级顾客的平均服务时长都为 hi，方差为 %26#61555;i2；系统总业务量 %26#61554; =%26#61669; %26#61548;i hi， %26#61554; %26lt;1
利用上节推导出的等待服务台空出的时间 T1，可知 W1=T1/(1%26#61485;%26#61554;1)，递推得第 k 级顾客的平均等待时间 Wk

例1 在 M/G/1 服务系统中，有两类顾客，都是波松到达过程。第一类顾客 %26#61548;1= 2个/秒，定长服务 h1= 0.1秒/个；第二类顾客 %26#61548;2= 0.5个/秒，负指数服务 h2= 1.2秒/个，试求：(1)不分优先权时的顾客平均等待时间；(2)非强占优先权，第一类顾客或第二类顾客优先时，各类顾客的平均等待时间。
解： %26#61548;1= 2，h1= 0.1，%26#61554;1=0.2Erl，%26#61555;12=0；
%26#61548;2= 0.5，h2= 1.2，%26#61554;2=0.6Erl，%26#61555;22=h22=1.22=1.44
(1)不分优先权，属纯 M/G/1 系统，由 T1 公式，得
T1=(2/2)(0+0.12)+(0.5/2)(1.22+1.22)=0.73秒
Wq=T1/(1%26#61485;%26#61554; )=0.73/(1%26#61485;0.2%26#61485;0.6)=3.65秒
(2) 非强占优先，第一类顾客优先
W1=T1/(1%26#61485;%26#61554;1 )=0.73/(1%26#61485;0.2)=0.9125秒
W2=T1/(1%26#61485;%26#61554;1 )(1%26#61485;%26#61554;1%26#61485;%26#61554;2) =0.73/(1%26#61485;0.2)(1%26#61485;0.8)=4.563秒
非强占优先，第二类顾客优先
W2=T1/(1%26#61485;%26#61554;2 )=0.73/(1%26#61485;0.6)=1.825秒
W1=T1/(1%26#61485;%26#61554;2 )(1%26#61485;%26#61554;1%26#61485;%26#61554;2) =0.73/(1%26#61485;0.6)(1%26#61485;0.8)=9.125秒
9.2.3 M/M/n 服务系统，非强占优先权
与 M/G/1 非强占优先权系统的基本假设大多数一样，但有 n 个独立并联服务台，各级顾客的平均服务时间都是 h
各级顾客到达率为 %26#61548;i，系统总到达率 %26#61548; =%26#61669; %26#61548;i，总业务量 %26#61554; =%26#61669; %26#61548;i h， %26#61554; %26lt; n
上节(10)式仍成立，有
9.3 溢流通路计算
9.3.1 部分利用度的概念
当服务台可以为所有进入系统的顾客服务时，称为全利用度系统(Fully provided)
当服务台部分分组使用，部分公用，则称为部分利用度系统，如图所示
9.3.2 溢流通路的概念
在电信网的组织中，由于经济的原因，并不是任两个交换机之间都有直达的中继线群
在话务量适当的点间开高效直达路由是经济的。
所谓高效路由是指呼损率大的中继线群(如B%26gt;0.02)，但当该中继线忙时，允许通过迂回路由接通呼叫；在高效路由上呼损而转移到迂回路由上的话务流量称为溢流，如图所示
溢流具有突发性，不再是波松流，目前仍不清楚其分布
具有溢流的系统是一个部分利用度系统
9.3.3 溢流通路的计算
已知 A23和给定的 B23，可以用爱尔兰损失公式直接求 n23
如何求溢流通路(2,1)的容量 n21，因为其上除直达业务量 A21，还有(2,3)的溢出流量 Ao23 ，而 Ao23 不是波松流，不能简单迭加，因而也不能直接用爱尔兰损失公式求 n21
威尔金森(R.I Wilkinson, 1956)提出了“等效随机流法”的近似计算方法
就是给出一种溢出流的迭加方法，然后求一个等效波松流 A 和一个等效电路群 n，使 A 通过 n 后的溢流等于原溢出流的迭加，如图所示
等效随机流的计算方法与步骤
1、计算(2,3)的溢流均值和方差
由于 n23 是 A23 的专用通路，给定 B23，有
等效随机流的计算方法与步骤
例1 求溢流通路(A,D)的电路数 NAD，要求 B%26#61603;0.01
1、计算(D,B)(D,C)的溢流 Ao1, %26#61555;2o1
查表，并利用线性内插，得
例1 求溢流通路(A,D)的电路数 NAD，要求 B%26#61603;0.01
4、计算溢流通路(A,D)所需通路数 N
例2 网路优化问题
1、各点间每条直达电路的成本不一样
2、汇接局的交换机每个路端的成本比非汇接局(端局)要高很多
3、因此，网路优化是线路成本和交换成本的平衡
4、有三种基本结构：纯汇接(星型)、独立直达和高效直达
5、高效直达中还可以进一步优化